Operación de simetría “isometría”: Es una transformación en el espacio tridimensional aplicada sobre un objeto o motivo, que preserva las distancias y los ángulos, y que deja al motivo en conjunto sin cambiar. Si se aplican dos operaciones de simetría sucesivamente, el motivo permanece aún invariante, de modo que la combinación de estas dos operaciones es de nuevo una operación de simetría llamada “composición”. Cada operación de simetría puede ser deshecha mediante el simple movimiento de todos los puntos del motivo hasta su posición original (elemento inverso). Como la combinación posee también la propiedad asociativa y elemento identidad, el conjunto de isometrías posee la estructura de “grupo matemático”.
Las isometrías se pueden representar mediante matrices de transformación de cosenos directores, es decir mediante matrices cuadradas 3x3 unitarias |R|=±1 y ortogonales R T = R -1. Entonces la matriz de transformación se calcula obteniendo los cosenos de los ángulos entre los ejes de referencia {O, a, b, c} de un sistema cartesiano y los nuevos ejes tras realizar la operación de simetría.
Fig. 8. Matriz de cosenos directores y sistema de referencia
Para obtener las nuevas coordenadas de un motivo tras realizar una operación de simetría se multiplica la matriz de transformación por las coordenadas originales del motivo: X’ = RX
Si la transformación incluyera alguna traslación, se sumaría el correspondiente vector de traslación: X’ = RX+ T
Ejemplos: Reflexión XY perpendicular a Z:
Binario helicoidal 21 paralelo a “c”
